HyperTwist Gravity: строгая теорема эквивалентности

Аннотация

Мы формулируем и строго доказываем основную теорему в рамках HyperTwist Gravity.
Она устанавливает биекцию между функцией скрутки $T (r)$ , кривой вращения $V (r)$ и эффективной плотностью $ρ (r)$ , а также даёт условие устойчивости круговых орбит.
Эта теорема превращает модель HyperTwist из феноменологической в математически строгую.

1. Постановка

Пусть $V : (0, \infty) \to R$ — кривая вращения, такая что
$V (r) = O (r)$ при $r \to 0$ .
Определим:

Функция скрутки:

T (r) = \int_{0}^{r} \frac{V ( s )}{s} d s,

Масса:

M (r) = \frac{r V ( r ) ^{2}}{G},

Эффективная плотность:

ρ (r) = \frac{1}{4 π r ^{2}} M^{'} (r),

Эпицентрическая частота:

κ^{2} (r) = \frac{1}{r ^{3}} \frac{d}{d r} (r^{2} V (r)^{2}) .

2. Теорема (эквивалентность HyperTwist)

Формулировка.
Для $V (r)$ как выше выполняются:

$T$ абсолютно непрерывна, и $r T^{'} (r) = V (r)$ .
Связь $GM (r) = r V (r)^{2}$ и $M^{'} (r) = 4 π r^{2} ρ (r)$ выполняется тождественно.
Установлена биекция:

{T} / const ⟷ {V} ⟷ {ρ \geq 0} .

из $T$ получаем $V = r T^{'}$ ;
из $V$ получаем $T (r) = \int_{0}^{r} V (s) / s d s$ и $ρ$ ;
из $ρ \geq 0$ с конечной массой $M (r)$ получаем $V (r) = GM (r) / r$ .

Условие $ρ (r) \geq 0$ эквивалентно неубыванию $r V (r)^{2}$ :

ρ (r) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{d}{d r} (r V (r)^{2}) \geq 0.

Если $ρ (r) \geq 0$ , то $κ^{2} (r) \geq 0$ , и круговые орбиты устойчивы.

3. Доказательство

Из $V (r) = O (r)$ интеграл $T (r)$ конечен, $T \in A C_{loc}$ , производная $T^{'} (r) = V (r) / r$ .
Подстановка определений даёт $GM = r V^{2}$ , $M^{'} = 4 π r^{2} ρ$ .
Биеция следует из прямых и обратных построений.
Из $M^{'} = 4 π r^{2} ρ$ и $GM = r V^{2}$ следует эквивалентность.
Подставив:

κ^{2} = \frac{1}{r ^{3}} \frac{d}{d r} (r^{2} V^{2}) = \frac{1}{r ^{2}} \frac{d}{d r} (r V^{2}) + \frac{V ^{2}}{r ^{2}} \geq 0,

если $\frac{d}{d r} (r V^{2}) \geq 0$ . ∎

4. Королларий для анзаца HyperTwist

Для функции

V (r) = V_{\infty} \frac{r}{r + r _{0}} \frac{1}{( 1 + r / R _{d} ) ^{β}}

асимптотическая плотность $ρ (r) \sim (1 - 2 β) r^{- 2 β - 2}$ ,
поэтому неотрицательность $ρ$ ⇔ $β \leq \frac{1}{2}$ ,
при $β > 0.5$ хвостовая плотность становится отрицательной.

5. Значение теоремы

Устанавливает строгую математическую основу HyperTwist Gravity.
Даёт простое условие физичности: $β \leq 0.5$ .
Обеспечивает гарантированную устойчивость круговых орбит.
Позволяет проверять модель напрямую на данных галактик через $V (r)$ .

Вывод: HyperTwist обладает строгой структурой и проверяемыми условиями применимости.

04.09.2025 Наука